🔢 7. Sınıf Matematik 1. Ünite Sayılar ve Nicelikler (1): Tam Sayılar Konu Anlatımı ve Etkinlikler

🎯 Bu Konuda Neler Öğreneceğiz?

Sayılar yalnızca kaç tane nesne bulunduğunu söylemez. Bazen deniz seviyesinin altını, sıfırın altındaki sıcaklığı, borcu, geriye doğru zamanı veya giriş katının altındaki bir katı da göstermemiz gerekir. Bu konu boyunca doğal sayıların yetmediği durumları fark edecek; pozitif tam sayıları, negatif tam sayıları ve sıfırı anlamlandıracağız.

• Gerçek yaşam durumlarını uygun pozitif, negatif veya sıfır tam sayısıyla göstereceğiz.
• Yatay ve dikey sayı doğrularında tam sayıların yerlerini belirleyeceğiz.
• Bir tam sayının işareti ile büyüklüğünü birbirinden ayıracağız.
• Zıt tam sayıları, ardışık tam sayıları, bir tam sayının bir önceki ve bir sonraki komşusunu bulacağız.
• Tam sayıları sayı doğrusundan yararlanarak karşılaştırıp sıralayacağız.
• Sıcaklık, yükseklik, derinlik, bakiye ve kat problemlerini matematiksel ifadeye dönüştüreceğiz.
• Tam sayılarla yapılacak işlemlere sayı doğrusu ve değişim düşüncesi üzerinden ilk adımı atacağız.

🧩 Doğal Sayılar Her Durumu Anlatmaya Yeter mi?

Saymaya başladığımızda 0, 1, 2, 3, … biçimindeki doğal sayılar işimizi görür. Fakat bazı sorular doğal sayıların dışına çıkmamızı ister. Örneğin 3 + ? = 0 eşitliğinde soru işaretinin yerine hiçbir doğal sayı yazamayız. Üçe eklendiğinde sonucu sıfır yapan sayı −3 olmalıdır.

Benzer biçimde hava sıcaklığının 0 °C’nin altına düşmesi, bir hesabın borç vermesi veya deniz seviyesinin altında bulunmak yalnızca doğal sayılarla açıklanamaz. Bu durumlarda sayının büyüklüğü kadar yönünü de göstermemiz gerekir.

🔢 Tam Sayılar Nedir?

Negatif tam sayılar, sıfır ve pozitif tam sayıların tamamına tam sayılar denir.

Tam sayılar kümesini iki yana doğru sonsuza uzanan bir liste gibi düşünebiliriz: …, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4,… Listenin başı ve sonu yoktur. Bu nedenle en büyük veya en küçük tam sayı da yoktur.

💡 Dikkat: 0 bir tam sayıdır fakat pozitif veya negatif değildir. Ayrıca +7 ile 7 aynı sayıyı gösterir. Negatif bir sayının önündeki eksi işareti ise mutlaka yazılmalıdır.

Durum	Referans noktası	Pozitif yön	Negatif yön	Örnek
Sıcaklık	0 °C	Sıfırın üstü	Sıfırın altı	+6 °C, −9 °C
Yükseklik	Deniz seviyesi	Deniz seviyesinin üstü	Deniz seviyesinin altı	+850 m, −35 m
Asansör	Giriş katı	Üst katlar	Bodrum katları	+4. kat, −2. kat
Para	Borçsuz ve bakiyesiz durum	Para / gelir	Borç / gider	+120 TL, −80 TL
Zaman çizgisi	Seçilen başlangıç yılı	Başlangıçtan sonrası	Başlangıçtan öncesi	+25, −40

🌍 Gerçek Yaşam Dilini Tam Sayıya Çevirelim

Bir durumun pozitif veya negatif sayıyla gösterilmesine yalnızca kullanılan sözcüklere bakarak karar veremeyiz. Önce referans noktasını belirlemeli, ardından belirtilen yönün bu referansa göre pozitif mi negatif mi olduğunu düşünmeliyiz. Örneğin ‘25 metre derinlik’ ifadesi deniz seviyesi referans alındığında −25 ile gösterilir.

🗂️ Tam Sayıları Türlerine Göre Ayıralım

Bir tam sayıyı incelerken önce sıfırla karşılaştırırız. Sıfırdan büyükse pozitif, sıfırdan küçükse negatif, sıfıra eşitse yalnızca sıfırdır. Doğal sayılar; 0 ve pozitif tam sayılardan oluştuğu için her doğal sayı aynı zamanda bir tam sayıdır.

➕ İşaret mi, İşlem mi?

Bir sayının önündeki + veya − işareti sayının yönünü belirtir. İki sayının arasında bulunan + ya da − ise bir işlemi gösterir. Örneğin −8 ifadesindeki eksi, sayının işaretidir; 5 − 8 ifadesindeki eksi ise çıkarma işleminin sembolüdür.

📍 Tam Sayıların Sayı Doğrusunda Gösterimi

Tam sayıları sayı doğrusu üzerinde göstermek için önce bir başlangıç noktası seçip buraya 0 yazarız. Eşit aralıklarla sağ tarafa pozitif, sol tarafa negatif tam sayıları yerleştiririz. Ardışık iki tam sayı arasındaki uzaklık her yerde aynıdır.

• Sıfırın sağında bulunan bütün tam sayılar pozitiftir.
• Sıfırın solunda bulunan bütün tam sayılar negatiftir.
• Sayı doğrusunda sağa doğru gidildikçe sayılar büyür.
• Sayı doğrusunda sola doğru gidildikçe sayılar küçülür.
• Ardışık iki tam sayı arasında başka bir tam sayı bulunmaz. Örneğin −3 ile −2 arasında tam sayı yoktur.

↕️ Dikey Sayı Doğrusu: Katlar, Sıcaklık ve Derinlik

Sayı doğrusu her zaman yatay olmak zorunda değildir. Termometre, asansör ve yükseklik çizimleri dikey sayı doğrusu gibi düşünülebilir. Dikey gösterimde yukarı çıktıkça sayılar büyür, aşağı indikçe küçülür. Başlangıç noktası seçilen bağlama göre giriş katı, deniz seviyesi veya 0 °C olabilir.

Zıt Tam Sayılar, Ardışık Tam Sayılar ve Komşuluk

Sayı doğrusunda sıfırın iki yanında, sıfıra eşit uzaklıkta bulunan sayılara zıt tam sayılar denir. Örneğin −7 ile +7 zıttır. Zıt sayılar aynı uzaklığı, ters yönleri anlatır. Sıfırın zıttı yine sıfırdır.

Tam sayı	Zıttı	Sıfıra uzaklık	Yön
+9	−9	Her ikisi de 9 birim	Ters
−4	+4	Her ikisi de 4 birim	Ters
0	0	0 birim	Yön yok
+1	−1	Her ikisi de 1 birim	Ters

Bir tam sayıdan hemen önce ve hemen sonra gelen sayılar o sayının komşu tam sayılarıdır. Örneğin −3'ün bir önceki komşusu −4, bir sonraki komşusu −2'dir. Aralarında başka tam sayı bulunmayan sayılara ardışık tam sayılar denir. Bu nedenle −1 ile 0 arasında başka bir tam sayı yoktur.

Tam Sayıları Karşılaştırma ve Sıralama

Sayı doğrusunda sağda bulunan tam sayı daha büyüktür. Bu kural bütün tam sayılar için çalışır. Pozitif sayılar sıfırdan, sıfır da negatif sayılardan büyüktür. İki negatif sayıyı karşılaştırırken sıfıra daha yakın olan daha büyüktür: −3, −8'in sağında olduğundan −3 > −8'dir.

Sayı Pullarıyla Tam Sayıları Modelleme

Tam sayılar yalnızca sayı doğrusuyla değil, sayı pulları ile de modellenebilir. Bir mavi pul +1'i, bir turuncu pul −1'i göstersin. Bir pozitif ve bir negatif pul birlikte sıfır eder; bu ikiliye sıfır çifti diyebiliriz. Sıfır çiftleri bir modelin değerini değiştirmez.

Tam Sayılarla Değişimi Okumak

Bir olayda başlangıç değeri, değişimin yönü ve son değer birlikte düşünülür. Burada amaç henüz işlem kurallarını ezberlemek değil; hareketin yönünü anlamaktır. Artış, yükselme, ilerleme ve kazanç pozitif yönü; azalma, alçalma, gerileme ve kayıp negatif yönü gösterebilir.

Başlangıç	Değişim	Sayı doğrusundaki hareket	Son durum
+2. kat	3 kat aşağı	Sola / aşağı 3 birim	−1. kat
−5 °C	4 °C ısınma	Sağa / yukarı 4 birim	−1 °C
2 puan	5 puan kayıp	Sola 5 birim	−3 puan
−6 m	6 m yükselme	Sağa / yukarı 6 birim	0 m

Gerçek Yaşam Durumlarını Tam Sayılarla İfade Etme

Bir tam sayı, bağlamdan koparıldığında yalnız bir sayıdır. Anlamını belirleyen üç bilgi vardır: referans noktası, yön ve birim. Örneğin “−12” tek başına borç, sıcaklık ya da derinlik demek değildir; “deniz seviyesinin 12 metre altı” denildiğinde anlam tamamlanır.

Bağlam	Referans (0)	Pozitif yön	Negatif yön	Örnek
Sıcaklık	0 °C	Sıfırın üstü	Sıfırın altı	−6 °C
Yükseklik–derinlik	Deniz seviyesi	Seviyenin üstü	Seviyenin altı	+85 m
Katlar	Giriş katı	Üst katlar	Bodrum katları	−2. kat
Para	Borçsuz / alacaksız durum	Alacak / varlık	Borç	−240 TL
Zaman	Belirlenen an	Sonrası	Öncesi	−3 yıl
Puan	Başlangıç / eşik	Kazanç	Kayıp	+15 puan

Bir Durumu Tam Sayıya Çevirirken Dört Adım

1. Referansı bul: Sıfır neyi temsil ediyor? Deniz seviyesi mi, giriş katı mı, borçsuz durum mu?
2. Yönü belirle: Durum referansın üstünde/sonrasında mı, altında/öncesinde mi?
3. Uzaklığı yaz: Referanstan kaç birim uzakta?
4. Birimle kontrol et: İşaret, sayı ve birim birlikte sorudaki cümleyi doğru anlatıyor mu?

Adım Adım Çözümlü Problemler

1

Araştırma Denizaltısı

Bir araştırma denizaltısı deniz seviyesinin 180 metre altında bekliyor. Konumunu tam sayıyla gösteriniz.

1 · ReferansDeniz seviyesi 0 m'dir.

2 · Yön ve uzaklıkDeniz seviyesinin altı negatif yön, uzaklık 180 metredir.

3 · Sonuç −180 m

4 · Kontrol− işareti aşağı yönü, 180 ise deniz seviyesine olan uzaklığı anlatır.

2

Dağ İstasyonu

Meteoroloji istasyonu deniz seviyesinin 2140 metre üstündedir. İstasyonun konumunu tam sayıyla gösteriniz.

1 · ReferansDeniz seviyesi 0 m'dir.

2 · Yön ve uzaklıkDeniz seviyesinin üstü pozitif yöndür.

3 · Sonuç +2140 m

4 · Kontrol+ işareti yukarı yönü, 2140 uzaklığı belirtir.

3

Gece Sıcaklığı

Sıcaklık sıfırın 9 derece altındadır. Termometredeki değeri tam sayıyla yazınız.

1 · ReferansBaşlangıç sıcaklığı 0 °C'dir.

2 · Yön ve uzaklıkSıfırın altı negatif yöndür ve uzaklık 9 derecedir.

3 · Sonuç −9 °C

4 · Kontrol“Altında” sözcüğü bağlamdaki negatif yönü doğrular.

4

Otopark Katı

Araç giriş katından üç kat aşağıdaki otoparkta bulunuyor. Kat numarasını tam sayıyla belirtiniz.

1 · ReferansGiriş katı 0 kabul edilir.

2 · Yön ve uzaklıkAşağı yön negatif, uzaklık 3 kattır.

3 · Sonuç −3. kat

4 · KontrolSayı doğrusunda 0'dan aşağı üç adım: −1, −2, −3.

5

Hesap Durumu

Ece'nin arkadaşına 75 TL borcu vardır. Borçsuz durum 0 kabul edilirse Ece'nin para durumunu gösteriniz.

1 · ReferansBorçsuz durum 0 TL'dir.

2 · Yön ve uzaklıkBorç, seçilen bağlamda negatif yönle gösterilir.

3 · Sonuç −75 TL

4 · KontrolSayı borcun miktarını, işaret borç yönünü belirtir.

6

Takvim Çizgisi

Bir yapının restorasyonu, referans kabul edilen yıldan 12 yıl önce başlamıştır. Başlangıç zamanını tam sayıyla gösteriniz.

1 · ReferansReferans yıl 0 noktasıdır.

2 · Yön ve uzaklıkÖnceki yıllar negatif yönde gösterilir.

3 · Sonuç −12 yıl

4 · Kontrol−12, referans anından geçmişe doğru 12 yıllık uzaklıktır.

7

Karşılıklı Konumlar

Bir dalgıç −24 metrede, bir gözlem balonu +24 metrededir. Konumları arasındaki ilişki nedir?

1 · ReferansHer ikisi için deniz seviyesi 0 m'dir.

2 · Yön ve uzaklıkİki konum sıfıra 24 birim uzaklıkta fakat ters yönlerdedir.

3 · Sonuç −24 ile +24 zıt tam sayılardır.

4 · KontrolSayı doğrusunda sıfırın iki yanında simetrik noktalardır.

8

Soğuk Kentleri Sıralama

A kentinde −4 °C, B kentinde −11 °C, C kentinde +2 °C ölçülüyor. Kentleri en soğuktan en sıcağa sıralayınız.

1 · ReferansAynı termometre ölçeğinde sağa gidildikçe sıcaklık artar.

2 · Yön ve uzaklıkSayıları küçükten büyüğe sıralarız: −11 < −4 < +2.

3 · Sonuç B, A, C

4 · KontrolEn küçük sıcaklık −11 °C, en büyük sıcaklık +2 °C'dir.

9

Komşu Katlar

Bir asansör −2. kattadır. Bu katın hemen altındaki ve hemen üstündeki kat numaraları nedir?

1 · ReferansKatlar ardışık tam sayılarla gösterilir.

2 · Yön ve uzaklık−2'nin önceki komşusu −3, sonraki komşusu −1'dir.

3 · Sonuç Alt kat −3, üst kat −1

4 · Kontrol−3 < −2 < −1 sıralaması sayı doğrusuyla uyumludur.

10

İki Referans Arasında

Bir robot −5 noktasından +2 noktasına kadar işaretli tüm tam sayı noktalarını ziyaret ediyor. Kaç farklı tam sayı noktası görür?

1 · Referansİki uç da ziyaret edilen noktalara dâhildir.

2 · Yön ve uzaklıkNoktalar: −5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2.

3 · Sonuç 8 nokta

4 · KontrolYalnız aradaki adım sayısını değil, başlangıç noktasını da saymalıyız.

Hata Avı: Doğru Gibi Görünen Yanlışlar

Tam sayılarda yapılan hataların çoğu işlemden değil, işaretin anlamını veya sayı doğrusundaki yönü karıştırmaktan kaynaklanır. Aşağıdaki etkinlikte her iddiayı kanıtıyla değerlendir.

Kendi Tam Sayı Problemini Kur

Bir problemin yalnız cevabını bulmak değil, koşullarını kurmak da matematiksel düşünmedir. İyi bir tam sayı probleminde referans açıkça belirtilir, iki yönün anlamı karıştırılmaz ve sorulan büyüklüğün birimi yazılır.

Tam Sayılar Yarışması

Aşağıdaki yarışma yalnız hız ölçmez. Yanlış cevapta doğru açıklamayı gösterir; seri puanı ise art arda doğru akıl yürütmeyi ödüllendirir. Başlamadan önce sayı doğrusunu zihninde canlandır.

Konu Sonu Değerlendirme

Bu değerlendirme; kavram, sayı doğrusu, sıralama, modelleme ve gerçek yaşam bağlamlarını birlikte ölçer. Cevapları tamamladıktan sonra yalnız puanını değil, kategori raporunu ve her sorunun kısa gerekçesini incele.

Kısa Özet: Tam Sayıların Büyük Resmi

Bir bakışta öğrendiklerimiz

Tam Sayılar Negatif tam sayılar, sıfır ve pozitif tam sayılar birlikte tam sayıları oluşturur.

İşaret + ve −, bağlam içinde yönü; sayı ise referansa olan uzaklığı belirtir.

Sıfır Referans veya sınır noktasıdır; ne pozitif ne negatiftir. Zıttı yine kendisidir.

Sayı doğrusu Sağa ya da yukarı gidildikçe değer büyür; sola ya da aşağı gidildikçe küçülür.

Zıtlar Sıfıra eşit uzaklıkta ve ters yöndedir: −a ile +a.

Komşular n tam sayısının önceki komşusu n−1, sonraki komşusu n+1'dir.

Karşılaştırma Sayı doğrusunda sağda olan büyüktür. Negatiflerde sıfıra yakın olan daha büyüktür.

Sayı pulları Bir +1 ve bir −1 pulu sıfır çifti oluşturur; modelin değerini değiştirmez.

Problem dili Referans + yön + uzaklık + birim birlikte kurulmadan işaretin anlamı tamamlanmaz.

Tam sayı gösterimi = referans noktası + yön bilgisi + uzaklık + birim

Neler Öğrendik?

• Bir gerçek yaşam durumunda sıfırın neyi temsil ettiğini açıklayabiliyorum.
• Pozitif, negatif ve sıfır tam sayılarını ayırt edebiliyorum.
• Bir tam sayıyı yatay ve dikey sayı doğrusunda gösterebiliyorum.
• Zıt tam sayıları ve bir sayının komşularını bulabiliyorum.
• Tam sayıları sayı doğrusunu kanıt olarak kullanarak karşılaştırıp sıralayabiliyorum.
• Sayı pullarında sıfır çiftlerini belirleyip modelin değerini okuyabiliyorum.
• Sıcaklık, yükseklik, kat, borç ve zaman durumlarını işaretli tam sayılarla ifade edebiliyorum.